Модуль 1.
Многоугольники.
Четырёхугольники. Определение
Многоугольники составляют основу геометрии. От того, насколько хорошо освоено
это понятие, во многом зависит успешность изучения всей геометрии.
Напомним, что ломаной называется фигура, образованная конечным
набором отрезков, расположенных так, что конец первого является началом
второго, конец второго – началом третьего и т.д. (рис. 1). Отрезки
называются сторонами ломаной, а их концы – вершинами ломаной
Ломаная обозначается последовательным
указанием ее вершин. Например, ломаная АВСDE, ломаная A1A2…An.
Ломаная называется простой, если она не имеет точек самопересечения
(рис. 2).
Ломаная называется замкнутой, если начало первого отрезка ломаной
совпадает с концом последнего. Замкнутую ломаную, у которой точками
самопересечения являются только начальная и конечная точки также называют
простой (рис. 3)
Всякая простая замкнутая ломаная на плоскости разбивает точки
плоскости на две области – внутреннюю и внешнюю. При этом всякие две точки из
одной области могут быть соединены ломаной, целиком содержащейся в этой
области. Если же две точки принадлежат разным областям, то любая ломаная, их
соединяющая, пересекается с исходной ломаной. (теорема Жордана).
Теорема Жордана позволяет дать определение многоугольника. Многоугольником называется фигура, образованная
простой замкнутой ломаной и ограниченной ею внутренней областью. Вершины ломаной называются вершинами
многоугольника, стороны – сторонами многоугольника, а углы, образованные
соседними сторонами - углами многоугольника. Точки многоугольника, не
лежащие на его сторонах, называются внутренними. https://obr.1c.ru/mathkit/collection/models/[mk_m8]_4-18.html
Многоугольник называется выпуклым, если вместе с любыми
двумя своими точками он содержит и соединяющий их отрезок (рис. 5).
Любой треугольник выпуклый. Среди многоугольников с числом углов
большим трех могут быть выпуклые и невыпуклые (рис. 6). https://wikium.ru/games/info/polygons распознавание
многоугольников здесь
Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий его не
соседние вершины. https://wikium.ru/game/speed-match скоростное сравнение геометрических фигур здесь.
Выпуклый многоугольник содержит все свои диагонали. Невыпуклый
многоугольник может не содержать некоторые свои диагонали (рис. 7).
1.7.1
Определение многоугольника.
Задачи.
Задачи для
самостоятельного решения
1. Верно ли, что любая замкнутая ломаная разбивает плоскость на
две области?
Ответ: Нет.
2. Проверьте, что линия, изображенная на рисунке 9, является
простой замкнутой ломаной. Выясните, какие из данных точек лежат внутри, а
какие вне этой ломаной.
2
Ответ: внутри лежат точки B, D и F; вне – A, C и E.
3. Укажите, какие из представленных на рисунке 10 фигур являются
многоугольниками, а какие нет.
Ответ: б) и г) – многоугольники; а) и в) – нет.
4. Сколько диагоналей имеет: а) шестиугольник; б) n-угольник?
Ответ: а) 9; б) .
5. Может ли многоугольник иметь: а) 10 диагоналей; б) 20 диагоналей;
в) 30 диагоналей?
Ответ: а), в) Нет; б) да.
6. Существует ли
многоугольник: а) число диагоналей которого равно числу его сторон; б) число
диагоналей которого меньше числа его сторон; в) число диагоналей которого
больше числа его сторон?
Ответ: а) Да, пятиугольник;
б) да, четырехугольник; в) да) шестиугольник.
7. Какое наибольшее число точек самопересечения может иметь
замкнутая ломаная, состоящая из: а) 4-х сторон; б) 5-ти сторон; в) n сторон
(n – нечетно)?
Ответ: а) Одну; б) пять; в) .
9. Может ли прямая, не проходящая через вершины простой замкнутой
ломаной, пересекать ее стороны в нечетном числе точек?
Ответ: Нет.
10*. Прямая l пересекает простую
замкнутую ломаную в 2005 точках. Докажите, что существует прямая l’, пересекающая эту ломаную более чем в 2005 точках.
11*. Докажите, что у выпуклого многоугольника нет углов, больших развернутого.
12*.
Докажите, что выпуклый многоугольник лежит в одной полуплоскости относительно
каждой прямой, содержащей его сторону.
Рождество Иисуса Христа, иконописная мастерская Троицкого храма города Курска.